中文XML论坛--06北大曾考题，欧拉图解法中的迷惑和有趣。。。

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*	贴子主题： 06北大曾考题，欧拉图解法中的迷惑和有趣。。。	举报打印推荐 IE收藏夹
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borlong

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	第31楼

以下是引用Logician在2006-10-1 0:56:00的发言：
ker f是“那些使得f(x)=K的元素（在这里，这些元素也是集合，它们是形入H,Ha,Hb...的集合）所构成的集合”。你没告诉我你的f是怎么定义的，怎么算呢？

[此贴子已经被作者于2006-10-1 1:29:20编辑过]

^____^,想不到，dear logician 也有点粗心哦。。。。。^_____^
（我写了定义哦。。。。对了，既然G/K中单位元是K，而肯定G/H={H,Ha,Hb,Hc...}，于是定义映射 f : G/H ---> G/K，求 ker f={ ？ } ,我总是无法想象过程。。。特闷。。）
G是群，H是G正规子群，K是G的正规子群，H是K的子集。
若定义映射 f : G/H ---> G/K .
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落花如雪胜雪香，秋风似水赛水凉。花下醉影不忍看，偏偏圆月又看窗！

2006/10/1 6:59:00

Logician

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	第32楼

以下是引用borlong在2006-10-1 6:59:00的发言：
^____^,想不到，dear logician 也有点粗心哦。。。。。^_____^
（我写了定义哦。。。。对了，既然G/K中单位元是K，而肯定G/H={H,Ha,Hb,Hc...}，于是定义映射 f :  G/H ---> G/K，求 ker f={ ？ } ,我总是无法想象过程。。。特闷。。）
G是群，H是G正规子群，K是G的正规子群，H是K的子集。
若定义映射 f :  G/H ---> G/K .

高中老师告诉我们，一个函数的决定要素有两个，一是定义域，二是对应法则。
我没有看错的话，你的帖子里只说了“若定义映射 f :  G/H ---> G/K .”请问对应法则在哪里？
从A到B的全函数共有|B|的|A|次方个。你的“定义”告诉我，f是|G/K|的|G/H|次方个函数中的一个，但没有告诉我，它到底是哪一个。
----------------------------------------------
Three passions, simple but overwhelmingly strong,
have governed my life: the longing for love, the
search for knowledge, and unbearable pity for the
suffering of mankind.
                            - Bertrand Russell

2006/10/1 9:09:00

borlong

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	第33楼

哦！！
原题是这样的：（本来这道题目中，还以为只有这个细节不懂呢！^___^）
G是群，H是G正规子群，K是G的正规子群，H是K的子集。
证明： G/K 与 (G/H)(K/H) 同构。
==================
因为这道题，要求出某个核，所以我才将其抽出来，向dear logician 请教的！
不好意思，给您带来麻烦了啊！！！
^____^
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2006/10/1 12:04:00

borlong

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	第34楼

G是群，H是G正规子群，K是G的正规子群，H是K的子集。
证明： G/K 与 (G/H)/(K/H) 同构。
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2006/10/1 12:05:00

Logician

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	第35楼

以下是引用borlong在2006-10-1 12:04:00的发言：
G是群，H是G正规子群，K是G的正规子群，H是K的子集。
证明： G/K 与 (G/H)/(K/H) 同构。
==================
因为这道题，要求出某个核，所以我才将其抽出来，向dear logician 请教的！
不好意思，给您带来麻烦了啊！！！
^____^

抽出来可以，但要说清楚f的定义（包括对应法则那一部分）。
你说的就是教材例17.47啊，上面清楚地写着，“定义φ:G/H->G/K，φ(Ha)=Ka,对所有Ha∈G/H。”后面这段就是对应法则。
如果定义另一个函数g:G/H->G/K，g(Ha)=K,对所有Ha∈G/H，那么g是零同态，ker g=G/H。
显然，一个函数的性质（包括同态核）与它的对应法则有很大的关系。
对于这道题，我们知道，对任意Ha，我们要判定Ha是属于kerφ就是要判定φ(Ha)是否等于K。而φ(Ha)=Ka（这是φ的定义），所以Ha属于kerφ当且仅当Ka=K。根据教材定理17.22，Ka=K当且仅当a∈K。这就是说，kerφ就是所有由K中的元素与H相乘得到的陪集。即，kerφ={Hx|x∈K}。

[此贴子已经被作者于2006-10-1 13:24:33编辑过]
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2006/10/1 12:45:00

borlong

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	第36楼

以下是引用Logician在2006-10-1 12:45:00的发言：
[
对对任意Ha，我们要判定Ha是属于kerφ就是要判定φ(Ha)是否等于K。而φ(Ha)=Ka（这是φ的定义），所以Ha属于kerφ当且仅当Ka=K。根据教材定理17.22，Ka=K当且仅当a∈K。这就是说，kerφ就是所有由K中的元素与H相乘得到的陪集。即，kerφ={Hx|x∈K}。

明白了！！！啊！！！！豁然开朗！！！！
太厉害了！！！^____^
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2006/10/1 13:13:00

borlong

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	第37楼

图论中题，有时候，我无从下手，即：找不到突破口！
题设部分很简单，就是。。。。。。。
===============================
如题：
设G是有11个或更多的结点的图，证明：G或G'是平面图。（G'是G的补）
=================================
我的临乱、纷杂、沉重的思路：
（预测：为什么会选择11个结点，也许这个数字可以算出矛盾！）
（怎样推广到更多的结点，也许会涉及到一个不等式！）
G或G'的证明是互补的。可以只选择一个。如下：
（a）最简单的情况，即只有11个结点。
设|G|=11=n.
边数=m,
如果是G是非平面图，那么m>3*n-6=27.
而G的最多边数是：11*（11-1）/2=55。
则G'的边数是m'<28.
即：m'最大值是27。
而n'=n=11.
则27=m'<=3*n'-6=33-6=27.
（不违背平面图的必要条件。即：此时G'至少有平面图的可能）
接下来，证明G'为平面图。
即：n'=11,m'=27的图平面图。
反证：
设含有k5图，那么必有5个结点，连接10条边。
那么剩下的6个结点和17条边。。。。。。。
(b)推广的情况.......

我的思维到此冻结！！！虽然我继续思考，可以举步维艰啊！！
==============================
请求大牛们，给点提示。。。拜谢！
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2006/10/1 16:15:00

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	第38楼

以下是引用borlong在2006-10-1 16:15:00的发言：
===============================
设G是有11个或更多的结点的图，证明：G或G'是平面图。（G'是G的补）
=================================

你看错题了吧？
是说G或G补中必有一个是非平面图吧？
你的那个命题应该是不成立的。
令G是3个K_5的并（如果要让它连通的话，随便再加两条边就可以了），那么G中含K_5，所以不是平面图，而G补中一样有K_5（因为G中很容易找到5个相互间都没有边的顶点），所以G补也不是平面图。
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2006/10/2 1:26:00

borlong

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	第39楼

设G是有11个或更多的结点的图，证明：G或G'是非平面图。（G'是G的补）
===============================
G或G补中必有一个是非平面图!!!!!!!
唉。。的确是我看错了。
dear logician 的反例无懈可击！！ ^___^
关于这道题的证明：我昨夜在床上翻来覆去的想出来了。。。
我用的反证法！假设都是平面图，然后解出 v<11.....
========================
哦，对了，关于你的。。。。。一道南大CS考研复试题（抽象代数）
设G_1和G_2分别是群G的两个子群，其中G_2是正规子群，且|G_1|与[G:G_2]互质，证明：G_1是G_2的子群。
你怎么就想出来用同态的方法呢？？？？
难道是第一敏感。。。我的高数也是这样.....^__^
说实话，我第一眼看到这题目：首先想到是如何用子群的判定去证明！！！
可是当我设出很多属于每个群的元素的时候，我就没有办法去将他们归属到证明的方向。
而且，对于互质概念也无法用出来！！
所以，我想问的是：你是否看到了这题的互质想到了用“同态”呢？？？
这就是对题设的敏感度阿！！
还是。。。也先是用到了子群的判定，然后发现此路不通，于是改变了方法呢？？？？
当你第一次面对此题目的时候，你的反应是什么？？？？？？？
具体思路就出来了吗？？？？
-这就是我10月份拼命培养的灵敏离散触觉！！！！当然我也会看很多的题目。。^___^
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2006/10/2 8:54:00

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	第40楼

以下是引用borlong在2006-10-2 8:54:00的发言：
哦，对了，关于你的。。。。。一道南大CS考研复试题（抽象代数）
设G_1和G_2分别是群G的两个子群，其中G_2是正规子群，且|G_1|与[G:G_2]互质，证明：G_1是G_2的子群。
你怎么就想出来用同态的方法呢？？？？
难道是第一敏感。。。我的高数也是这样.....^__^
说实话，我第一眼看到这题目：首先想到是如何用子群的判定去证明！！！
可是当我设出很多属于每个群的元素的时候，我就没有办法去将他们归属到证明的方向。
而且，对于互质概念也无法用出来！！
所以，我想问的是：你是否看到了这题的互质想到了用“同态”呢？？？
这就是对题设的敏感度阿！！
还是。。。也先是用到了子群的判定，然后发现此路不通，于是改变了方法呢？？？？
当你第一次面对此题目的时候，你的反应是什么？？？？？？？
具体思路就出来了吗？？？？

从正规子群和指数很容易想到商群。
看到互质，就想到要找一个东西，它能整除|G_1|，又能整除[G:G_2]，从而由互质知道它是1。而从整除很容易想到“子群的阶”。但[G:G_2]是商群的阶，不可能直接找到群，它既是G/G_2的子群又是G_1的子群，所以很自然需要利用同态和同构去解决。
另外同态基本定理是群论里非常重要、非常基本的定理，看到商群G/H的时候，就试试看能不能作一个同态映射，使H为映射的核。这基本的解题“定式”之一。
至于子群判定定理，它需要用到有关运算法则的信息，这道题里只给出了两个关于阶的信息，没有任何运算法则的信息，所以子群判定定理显然不属于优先考虑的方法。
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2006/10/2 12:26:00

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