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     * 贴子主题： 03年一道离散证明 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     shuimu 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 03年一道离散证明

    03年真题代数结构第一道:
    证明:G是非Abel群,则G的自同构群AutG至少还有两个元素

    我是这样证明的:
    证:显然恒等映射IG属于AutG
       下面证明任意的 x 属于G,x 不等于x的逆元
        反证:假设x= x的逆元,则 x 的平方=e
               对于任意的a,b属于G,由G中运算的封闭性ab属于G   
               ab=(ab) -1 =b-1a-1=ba     (-1都表示求逆运算)
              即ab是Abel群,矛盾,从而 x不等于x的逆
       定义函数f:G->G, 任意的x ,f(x)=x-1
       有群内逆元的存在性和唯一性可知f为单射,同时为满射
      于是f属于AutG 且f不等于 IG
      从而AutG中存在两个元素IG ,f

    之所以贴出我的解法是因为看去年的一位大侠的帖子时记得他说这道题必须
    要用内自同构解(也就是Beta版上的解法)
    请大家看看我的解法对不>?


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/8/20 19:24:00
     
     datoubaicai 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
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    发贴心情 
    你的证明只说明AutG含有两个元素，而题目中要求“至少”含有两个元素

    我觉得这个题目考察的知识点就是InnG是AutG的正规子群，用反证法证明比较简单（至少含两个的反面就是只含一个），直接去证明就比较繁琐了。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/8/21 7:31:00
     
     lionx 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    没太大问题，找到了两个元素当然就是至少有两个元素了。不过你得说明，因为G不是Abel群，所以G!={e}，所以才有存在x属于G且x!=e。
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/8/21 11:48:00
     
     datoubaicai 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
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    发贴心情 
    早上没看清楚,这个证明是有问题的
    你只是说明了f:G->G是双射,但你并没证明f是同态映射
    而f显然不是同态映射
    因为假如f是自同态，那么对任意的x,y,f(xy)=(xy)-1=y-1x-1=x-1y-1=f(x)f(y)
    另a=x-1,b=y-1,上式就是ab=ba
    这与G不是abel群矛盾
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/8/21 14:55:00
     
     shuimu 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    没错,今天我也发现这个问题了
    f不是同态

    另外问题出在G不是Abel群,那么只能说明存在x,使得x!=x^-1
    也就是教材上的例子的逆否命题:
    任意的x=x^-1,那么G是Abel群
    我觉得搞清楚这两个命题对群的许多证明是很有帮助的

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/8/21 18:25:00
     
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