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     * 贴子主题： Logician 版主进来看下 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     九九 帅哥哟，离线，有人找我吗？射手座1984-11-25
      
      
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    发贴心情 Logician 版主进来看下

    关于 你在
    [原创] 我的离散数学学习心得 (1)  -- 一类抽象代数题的解题思路
    中的问题

    问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba也可逆。

    这个问题的证明

    可不可以直接引入a,b的逆元，
    (1-ab)c=1
    很容易就可以得到
    (1-ba)a^ca=1;（a^表示a的乘法逆元）
    再想办法消去a^就可以得到你的结果了；

    复习紧张没有仔细分析；希望你能帮我找出错误，或者证明出 a^,b^的引入不会造成错误
    谢喽！！！
    而你给的那个思路，就算理解了，应用起来还是需要一定的联系的；
    构造的虽然巧妙，但是思维过程需要很大的经验积累
    你说呢？？


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/11/15 16:00:00
     
     skyleafBEIDA 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大三(要不要学学XML呢?)
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    发贴心情 
    兄台的解法我没太看明白是什么意思，不过有个问题是含幺环中逆元不一定存在，不可以直接引入的。
    顺便问一句：logician大侠的“我的离散数学学习心得 (1)”在哪里下？
    谢谢！
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/11/15 23:57:00
     
     九九 帅哥哟，离线，有人找我吗？射手座1984-11-25
      
      
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    这个引入就是一个过渡变量；
    a的逆元一定是存在的，只是不在R中；
    把它引入过来得到1-ba的逆元d（这里我们不能确定d是否属于R)
    然后把d用a,b,c,c^表示出来就就可以说明d属于R就可以了
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/11/16 10:52:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    a和b的（对乘法的）逆元未必存在啊。
    比如如果a、b是奇异矩阵的话，它们就没有乘法逆元，但是1-ab仍然可以有乘法逆元。

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/11/16 11:38:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    就在版上,你可以搜一下

    以下是引用skyleafBEIDA在2007-11-15 23:57:00的发言：
    兄台的解法我没太看明白是什么意思，不过有个问题是含幺环中逆元不一定存在，不可以直接引入的。
    顺便问一句：logician大侠的“我的离散数学学习心得 (1)”在哪里下？
    谢谢！

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    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/11/16 11:40:00
     
     九九 帅哥哟，离线，有人找我吗？射手座1984-11-25
      
      
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    以下是引用Logician在2007-11-16 11:38:00的发言：
    a和b的（对乘法的）逆元未必存在啊。
    比如如果a、b是奇异矩阵的话，它们就没有乘法逆元，但是1-ab仍然可以有乘法逆元。



    在这里我们讨论的是代数系统的概念，不是一个特定的代数；
    我们可以另设一个a^使得aa^=1;是把这样的一个冬冬加入到R中；
    使得R中多了一系列的元素；
    就算a,b是奇异矩阵，我们仍然可以设出这样的一个逆元；只是不能用简单的矩阵方式表达出来而已；

    至于具体的论证，太抽象，还没有想好；但是对这样证明逆元存在性问题的时候还没有出过错；还是希望你能找出一个具体的范例，或是给出完整的论证，谢谢！

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/11/16 12:50:00
     
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    版主在南京？ 我也在南京哎！
    留个电话，有机会登门去向你请教！
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/11/16 13:07:00
     
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    发贴心情 
    你需要知道，一个代数系统的种种性质，依赖于其中所有元素对各种运算满足种种性质。
    你当然可以扩展一个代数系统，使得原系统的所有元素在新系统中都有逆元。
    但这时，你必须适当的规定新系统中各元素之间的运算法则，以确保新系统仍保持某些必要的性质（如封闭性、结合律、分配律等），还必须证明原系统是这个新系统的子代数，在这种情况下，你的这套论证是成立的。
    换言之，你必须证明存在一个代数系统R*，它是R的超代数，且R的元素在R*中都有乘法逆元，而且你在证明中所使用的所有关于R中加法、乘法所具有的性质在R*中同样成立。
    这一事实并非显然。因为满足诸多限制条件的代数系统是否存在，是一个nontrivial的问题。例如我们都知道，零元不可能有逆元。所以，你永远也不可能构造出一个非平凡（即，大于1阶）的代数系统，使得这个代数系统既有零元，又是群。

    你那种加入逆元的证法在这种情况下很好用：如果已知有一个S的超集T，T具有你想要的所有性质，而且S是T的子代数，那么你可以先在T中论证一些性质，然后放回S中去。例如我们可以在实数域上证明一些性质，然后放回整数环上去。但这样做的前提是我们知道实数集对+和*构成域。

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                                - Bertrand Russell

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    发贴心情 
    事实上，含有零元的代数系统 T，依然可以构造一个群S，使得T是S的子代数；
    我还是没有找到不成立的情况！
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2007/11/16 21:16:00
     
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    发贴心情 
    令 <Z,*> 是整数对乘法构成的独异点。
    请定义一个群S，使得Z是S的子代数，且0在S中有逆元。
    请明确指出这个代数系统S的元素和运算法则。

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    have governed my life: the longing for love, the
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                                - Bertrand Russell

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