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       本主题类别:     
     kaogejj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    第一问我不解
    根据书上定理17.19的（1）的结论，任何p阶轮换（当然也是p元置换，也属于Sp）的阶都是p，那么Sp的p阶元应该是p!，题中怎么说是(p-1)! 呢？

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/10/29 23:24:00
     
     kaogejj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    有人知道吗谢谢？
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/10/30 20:23:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    (1 2 3 4) = (2 3 4 1) = (3 4 1 2) = (4 1 2 3)
    并不是p的每个不同的排列都对应一个不同的p-轮换，相反，每p个排列对应一个p-轮换
    所以总共有p!/p = (p-1)!个p-轮换

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/10/30 21:21:00
     
     kaogejj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    以下是引用Logician在2008-10-30 21:21:00的发言：
    (1 2 3 4) = (2 3 4 1) = (3 4 1 2) = (4 1 2 3)
    并不是p的每个不同的排列都对应一个不同的p-轮换，相反，每p个排列对应一个p-轮换
    所以总共有p!/p = (p-1)!个p-轮换

    解释地非常清楚，谢谢。群这样一章特别是置换群这一张我感觉有点难，看地很慢，以函数为元素的集合考虑起来有点费神。。。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/10/30 22:51:00
     
     kaogejj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    以下是引用Logician在2008-10-30 21:21:00的发言：
    (1 2 3 4) = (2 3 4 1) = (3 4 1 2) = (4 1 2 3)
    并不是p的每个不同的排列都对应一个不同的p-轮换，相反，每p个排列对应一个p-轮换
    所以总共有p!/p = (p-1)!个p-轮换

    只是有点疑问，每p个排列对应一个p-轮换，书上没有这个结论。但我觉得它是对的，可是我又想不出如何证明它？能否给点提示？

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/10/30 23:06:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    以下是引用kaogejj在2008-10-30 23:06:00的发言：
    [quote]以下是引用Logician在2008-10-30 21:21:00的发言：
    (1 2 3 4) = (2 3 4 1) = (3 4 1 2) = (4 1 2 3)
      并不是p的每个不同的排列都对应一个不同的p-轮换，相反，每p个排列对应一个p-轮换
      所以总共有p!/p = (p-1)!个p-轮换
    [/quote]

    只是有点疑问，每p个排列对应一个p-轮换，书上没有这个结论。但我觉得它是对的，可是我又想不出如何证明它？能否给点提示？


    大致这样想吧：
    1、如果一个p-轮换f = (i_1 i_2 i_3 ... i_p)，不妨设其中i_k=1，那么我们可以把f重写成(i_k i_{k+1} i_{k+2} ... i_p i_1 i_2 ... i_{k-1})。显然，这个写法和原来的f是等价的。
    2、上面这个论证是说，对每一个p-轮换f，至少存在一个“以1开头的p的全排列”与之对应。反过来，你可以证明，这种与之对应的“以1开头的p的全排列”是唯一的。这样p-轮换的个数就和“以1开头的p的全排列”的个数相同。而后者的数量是(p-1)!（因为它是“从2到p”这p-1个数字的所有全排列）。

    ----------------------------------------------
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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/10/30 23:21:00
     
     kaogejj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    以下是引用Logician在2008-10-30 23:21:00的发言：
    [quote]以下是引用kaogejj在2008-10-30 23:06:00的发言：
    [quote]以下是引用Logician在2008-10-30 21:21:00的发言：
      (1 2 3 4) = (2 3 4 1) = (3 4 1 2) = (4 1 2 3)
       并不是p的每个不同的排列都对应一个不同的p-轮换，相反，每p个排列对应一个p-轮换
       所以总共有p!/p = (p-1)!个p-轮换
      [/quote]

      只是有点疑问，每p个排列对应一个p-轮换，书上没有这个结论。但我觉得它是对的，可是我又想不出如何证明它？能否给点提示？
    [/quote]

    大致这样想吧：
    1、如果一个p-轮换f = (i_1 i_2 i_3 ... i_p)，不妨设其中i_k=1，那么我们可以把f重写成(i_k i_{k+1} i_{k+2} ... i_p i_1 i_2 ... i_{k-1})。显然，这个写法和原来的f是等价的。
    2、上面这个论证是说，对每一个p-轮换f，至少存在一个“以1开头的p的全排列”与之对应。反过来，你可以证明，这种与之对应的“以1开头的p的全排列”是唯一的。这样p-轮换的个数就和“以1开头的p的全排列”的个数相同。而后者的数量是(p-1)!（因为它是“从2到p”这p-1个数字的所有全排列）。




    对，谢谢。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/10/31 7:42:00
     
     cuiwenhuan 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    p阶轮换就是(p-1)!个嘛！因为可以看成一个环，固定任何一个，其它n-1个元素全排列。
    而（1）成立也就意味着p阶轮换和Sp的p阶元是一一对应的
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/11/17 22:06:00
     
     cuiwenhuan 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    至于怎么证明任何p阶元都可以表示成p阶轮换，我觉得可以从任意n元置换都可以表成不相交的轮换之积去考虑。great Logician，你觉得呢？
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/11/17 22:12:00
     
     whasic 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    谈一下我的看法
    首先我觉得楼上同学的表述有很大的问题
    想当然的成分太大
    而且“环”这个ms不在置换群的定义体系里吧

    设d是Sp的一个元素
    现证|d|=p,则d可以写成（ik1，ik2，。。。。ikl）的形式
    假设d不能写成上述形式，则d写成d=t1t2...tm的乘积的形式
    其中t1 t2 。。。tm是不交的轮换 并且t1 t2 。。。tm的阶为a1 a2 。。。am
    并且它们都显然是小于p的
    则由定理17.19之二 p=|d|=[a1,a2....,am]
    与p是素数矛盾
    再证l=p
    假设l和p不相等
    则由定理17.19之一 |d|=l 与|d|=p矛盾
    因此 d可以写成（ik1，ik2，。。。。ikp）的形式
    再证这样的排列有(p-1)!个
    任取d中的一个元素比如a
    则d(a)必然不等于a
    否则d可以写成d=(a)t的形式 与已证矛盾
    不妨令d(a)=b
    则d(b)不等于b且d(b)不等于a 那么 d(a)有p-1个可取的值
    不等于b是因为一一映射 不等于a是因为若等于a 则d可以写成d=(ab)t的形式
    与已证矛盾 故d(b)有p-2个可取的值
    一直推下去 到第p-1个元素 只有一个可取的值
    对于第p个元素，设为x 则d(x)别无选择,只能为a
    故共有(p-1)*(-2)......2*1*1=(p-1)!个p阶元

    ----------------------------------------------
    再见，国立交通大学。 你好，国立北京大学

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2008/11/17 22:35:00
     
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