但是根据北大离散讲义代数结构与组合数学部分P14对特异元素的解释（特异元素为二元运算上的单位元，零元，幂等元，可逆元，逆元），又否定了这一结论（可以看到上述网址认为代数系统即特异元素仅包括单位元和零元）

同时在Abel大佬的解答15.15题中，坚持了代数常数即是特异元素这一论断，然而却又认为代数常数即特异元素仅仅指的是单位元。

如此种种不同的阐述，令我甚为迷惑，朋友你是如何理解的呢？

其次，从教材中关于“代数系统”的定义（定义15.9）中我们可以看到，一个代数系统被定义为一个“三元组”V=<A,Ω,K>。这就是说，即使两个代数系统的“载体”A和“运算集合”Ω都相同，只要它们各自的“代数常数”集合K不同，那么这两个代数系统就是不同的。这就是说，<Z,+>、<Z,+,0>是两个不同的代数系统。

这一观点，在教材例15.13(2)中有清晰的描述：

A={(a 0\\0 0) | a∈R}，则是<A,·>是<M_2(R),·>的真子代数。其中·为矩阵乘法。M_2(R)中关于·的运算的单位元是(1 0\\0 1)，若把乘法单位元看作M_2(R)中的零元运算，那么<A,·,(1 0\\0 0)>不是<M_2(R),·,(1 0\\0 1)}>的子代数，因为A对<M_2(R),·,(1 0\\0 1)>中的零元运算不封闭。

这清楚地说明：是否把某个元素（如单位元）看作代数常数（零元运算）是我们在定义代数系统是自行确定的。<M_2(R),·,(1 0\\0 1)}>和<M_2(R),·>不是同一个代数系统。前者有一个零元运算（即代数常元）：(1 0\\0 1)，而后者没有代数常元。

以上内容说明：一个代数系统中的“代数常元”集合K是我们在定义代数系统时“指定”的，而不是根据某些运算性质“计算”出来的。

这就是我做习题15.15时的依据。题中写了V_1有且仅有一个代数常元，即“1”，V_2有且仅有一个代数常元，即“6”。那么，它们的子代数必须对这两个“零元运算”封闭（参见前面提到的教材例15.13(2)）。

进一步地说，所有关于“代数常元”的描述中，都没有限定“代数常元”必须满足哪些性质。为此，有理由认为（虽然我没有看到在教材上看到这样的例子），<Z,+,5>也是一个代数系统，其中5是该系统中唯一的代数常元。也就是说，“代数常元”的集合K只要满足性质“K≤A”，是可以任意指定的。

然后，我的迷惑在于如何理解零元运算呢？为什么说例15.13(2)中A对<M_2(R),·,(1 0\\0 1)>中的零元运算不封闭呢？

1、嗯。你说的没错。我没注意到讲义上关于“特异元素”的定义。@_@
2、“零元运算”就是不需要“运算数”，它的值恒等于某个特定的值。比如我定义运算*，规定*=1。那么“运算*”就是零元运算，它的值总是1。如果把它加在一个代数系统里，这个代数系统的所有子代数都必须含有元素1，否则它就对“运算*”不封闭了。

|A+B| = |A|+|B|这个公式是不成立的，反例：10=-2+12=|5,4\\3,2|+|3,2\\3,6|不等于|5+3, 4+2\\3+3,2+6|=|8,6\\6,8|=28

以下是引用Smilingface在2006-8-20 14:08:00的发言： 又想到一个问题，如何说明17.13（3）题，当N为偶数时，运算是封闭的呢？

[quote]

NOD！

首先连代数系统都不是，所以不需要进一步的考虑了。