以文本方式查看主题 - 中文XML论坛 - 专业的XML技术讨论区 (http://bbs.xml.org.cn/index.asp) -- 『 计算机考研交流 』 (http://bbs.xml.org.cn/list.asp?boardid=67) ---- [讨论][离散]关于几个基本概念的辨析 (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=67&rootid=&id=36968) |
-- 作者:Smilingface -- 发布时间:8/19/2006 4:46:00 PM -- [讨论][离散]关于几个基本概念的辨析 在代数系统的定义中提到了代数常数这一概念,google之我得到的结论是代数常数一词与特异元素是等价的。http://cise.sdkd.net.cn/lssx/7StressResolve/cha5/52.htm 但是根据北大离散讲义代数结构与组合数学部分P14对特异元素的解释(特异元素为二元运算上的单位元,零元,幂等元,可逆元,逆元),又否定了这一结论(可以看到上述网址认为代数系统即特异元素仅包括单位元和零元) 同时在Abel大佬的解答15.15题中,坚持了代数常数即是特异元素这一论断,然而却又认为代数常数即特异元素仅仅指的是单位元。 如此种种不同的阐述,令我甚为迷惑,朋友你是如何理解的呢? |
-- 作者:Logician -- 发布时间:8/19/2006 7:16:00 PM -- 首先,你给的网页中对“代数常数”的定义似乎与北大教材中的有出入(依我看来,那个网页中对代数常数的叙述有不太清楚。他没有说明,按他的定义<Z,+>和<Z,+,0>到底是同一个代数系统还是两个不同的代数系统)。 其次,从教材中关于“代数系统”的定义(定义15.9)中我们可以看到,一个代数系统被定义为一个“三元组”V=<A,Ω,K>。这就是说,即使两个代数系统的“载体”A和“运算集合”Ω都相同,只要它们各自的“代数常数”集合K不同,那么这两个代数系统就是不同的。这就是说,<Z,+>、<Z,+,0>是两个不同的代数系统。 这一观点,在教材例15.13(2)中有清晰的描述: A={(a 0\\0 0) | a∈R},则是<A,·>是<M_2(R),·>的真子代数。其中·为矩阵乘法。M_2(R)中关于·的运算的单位元是(1 0\\0 1),若把乘法单位元看作M_2(R)中的零元运算,那么<A,·,(1 0\\0 0)>不是<M_2(R),·,(1 0\\0 1)}>的子代数,因为A对<M_2(R),·,(1 0\\0 1)>中的零元运算不封闭。 这清楚地说明:是否把某个元素(如单位元)看作代数常数(零元运算)是我们在定义代数系统是自行确定的。<M_2(R),·,(1 0\\0 1)}>和<M_2(R),·>不是同一个代数系统。前者有一个零元运算(即代数常元):(1 0\\0 1),而后者没有代数常元。 以上内容说明:一个代数系统中的“代数常元”集合K是我们在定义代数系统时“指定”的,而不是根据某些运算性质“计算”出来的。 这就是我做习题15.15时的依据。题中写了V_1有且仅有一个代数常元,即“1”,V_2有且仅有一个代数常元,即“6”。那么,它们的子代数必须对这两个“零元运算”封闭(参见前面提到的教材例15.13(2))。 进一步地说,所有关于“代数常元”的描述中,都没有限定“代数常元”必须满足哪些性质。为此,有理由认为(虽然我没有看到在教材上看到这样的例子),<Z,+,5>也是一个代数系统,其中5是该系统中唯一的代数常元。也就是说,“代数常元”的集合K只要满足性质“K≤A”,是可以任意指定的。 |
-- 作者:Smilingface -- 发布时间:8/20/2006 11:59:00 AM -- 首先,对于15.15题而言,题目问的是给出特异元素,根据北大离散讲义代数结构与组合数学部分P14对特异元素的明确解释(特异元素为二元运算上的单位元,零元,幂等元,可逆元,逆元),解答中应该使用特异元素一词,并将幂等元〈1,5〉,〈2,5〉,〈3,5〉,〈1,6〉,〈2,6〉,〈3,6〉即全部元素纳入特异元素的范畴。 然后,我的迷惑在于如何理解零元运算呢?为什么说例15.13(2)中A对<M_2(R),·,(1 0\\0 1)>中的零元运算不封闭呢?
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-- 作者:Smilingface -- 发布时间:8/20/2006 2:08:00 PM -- 又想到一个问题,如何说明17.13(3)题,当N为偶数时,运算是封闭的呢? |
-- 作者:datoubaicai -- 发布时间:8/20/2006 4:05:00 PM -- 1) 15.15中特异元素的确应该将幂等元,零元,单位元,和逆元都写上. 2) 零元运算即代数常数,载体A中的任何一个元素都可以做为零元运算,而零元运算一般要在代数系统中明确指出才算.书上给出的代数系统经常把特异元素(单位元,零元)做为零元运算给出,让人产生零元运算就是特异元素的误解,实则不然. 例15.13中,<M_2(R),·,(1 0\\0 1)>中的零元运算即(1 0\\0 1)显然它不属于A,所以不封闭. |
-- 作者:Logician -- 发布时间:8/20/2006 10:59:00 PM -- 17.13(3)? 对矩阵A、B而言,|A+B| = |A|+|B|。 因此,如果|A|≥0且|B|≥0,自然有 |A+B| = |A|+|B|≥0。 |
-- 作者:Logician -- 发布时间:8/20/2006 11:09:00 PM --
1、嗯。你说的没错。我没注意到讲义上关于“特异元素”的定义。@_@
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-- 作者:Smilingface -- 发布时间:8/21/2006 10:23:00 AM -- 恩。我搞懂代数常数,特异元素,零元运算这几个概念了。 那麽可以得到这样一个结论:<M_2(R),·>不是<M_2(R),·,(1 0\\0 1)>的子代数,因为前者不含零元运算,对吧? |
-- 作者:Smilingface -- 发布时间:8/21/2006 10:41:00 AM --
|A+B| = |A|+|B|这个公式是不成立的,反例:10=-2+12=|5,4\\3,2|+|3,2\\3,6|不等于|5+3, 4+2\\3+3,2+6|=|8,6\\6,8|=28 |
-- 作者:Logician -- 发布时间:8/21/2006 6:49:00 PM -- 晕。我弱了…… 线代没学好……:( 等我想想…… |
-- 作者:Logician -- 发布时间:8/21/2006 6:50:00 PM -- 嗯。对的。 |
-- 作者:Logician -- 发布时间:8/21/2006 6:53:00 PM -- 嗯。我发现17.13(3)不封闭。 例如A=(1 0\\0 1),B=(-2 0\\0 0)。则|A|=1,|B|=0,但|A+B|=-1……
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-- 作者:zsmjlu -- 发布时间:8/22/2006 3:27:00 PM -- 我感觉这道题是逆元不一定存在吧`` 行列式植>=0,逆元不一定存在吧 |
-- 作者:Smilingface -- 发布时间:8/22/2006 9:16:00 PM -- [quote]以下是引用Logician在2006-8-21 18:53:00的发言: 嗯。我发现17.13(3)不封闭。 例如A=(1 0\\0 1),B=(-2 0\\0 0)。则|A|=1,|B|=0,但|A+B|=-1…… [quote] NOD! |
-- 作者:Smilingface -- 发布时间:8/22/2006 9:22:00 PM --
首先连代数系统都不是,所以不需要进一步的考虑了。 |
-- 作者:zsmjlu -- 发布时间:8/23/2006 1:13:00 PM -- 对头````````` |
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