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----  一道集合论的题目(第四周第一帖)  (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=67&rootid=&id=38221)

--  作者：apolor
--  发布时间：9/23/2006 7:02:00 AM

--  一道集合论的题目(第四周第一帖)
请证明或推翻下面命题：
      已知A真包含于B且C真包含于D，则AUC=BnD与AnC=BUD不能同时成立。

注：这道题是从习题一22题演化出来的，直觉上是真命题。但我目前还没有得到一个证明。有余力者可尝试证明一下，权当娱乐:)

--  作者：datoubaicai
--  发布时间：9/23/2006 4:20:00 PM

--  
用反证法吧
假设AUC=BnD且AnC=BUD
A包含于AUC,则A包含于BnD,而BnD包含于B,所以A包含于B
B包含于BUD,则B包含于AnC,而AnC包含于A,所以B包含于A
因此A=B,这与A真包含于B矛盾.
--  作者：computerlover
--  发布时间：9/23/2006 4:35:00 PM

--  
这不是集合与容斥原理吗？这个应该不作要求吧
--  作者：Logician
--  发布时间：9/23/2006 7:42:00 PM

--  
你的命题是不是写错了？
你是不是想说“A∪C=B∪D与A∩C=B∩D不能同时成立”？
--  作者：adherent
--  发布时间：9/23/2006 8:52:00 PM

--  
1，apolor——“已知A真包含于B且C真包含于D，则AUC=BnD与AnC=BUD不能同时成立。”这个命题本身是否有问题啊？
2，datoubaicai——证明有问题吧：“A包含于AUC,则A包含于BnD”成立吗？如：A={1}，B={1，2}，C={3}，D={3，4}，满足“A真包含于B且C真包含于D”，但是A包含于AUC能=>A包含于BnD吗？
3，Logician——“你是不是想说“A∪C=B∪D与A∩C=B∩D不能同时成立”？”，这样说好像也有问题吧？把等号改成包含于？
--  作者：playboy199
--  发布时间：9/23/2006 9:24:00 PM

--  
一、adherent－－2，datoubaicai——证明有问题吧：“A包含于AUC,则A包含于BnD”成立吗？如：A={1}，B={1，2}，C={3}，D={3，4}，满足“A真包含于B且C真包含于D”，但是A包含于AUC能=>A包含于BnD吗？
本身就是要证明不能同时成立，而datoubaicai是利用反证法证明的，而你所举得例子只能说明楼主要证的命题是正确的，而跟datoubaicai所证明的没有关系．
二、我认为如果是楼主所说的命题的话，datoubaicai所用的方法应该是对的，而题目本身并不难。也许楼主的意思并没有说清楚。。。一点愚见～～～～
--  作者：Logician
--  发布时间：9/23/2006 9:38:00 PM

--  
（下面用“<”表示“真包含于”，用“≤”表示“包含于”）
当“A<B且C<D”时，显然有“A∪C ≤ B∪D”和“A∩C ≤ B∩D”。
习题1.22(2)要求举反例说明，当“A<B且C<D”时，未必有“A∪C < B∪D”和“A∩C < B∩D”。
我想apolor的意思是：当“A<B且C<D”时，虽然上述两式未必都成立，但至少应该有一个成立。

我的证明如下：已知A<B和C<D。反设“A∪C < B∪D”和“A∩C < B∩D”都不成立。即有“A∪C = B∪D”和“A∩C = B∩D”。则：
A = A∩(A∪C)           （吸收律）
  = A∩(B∪D)           （A∪C=B∪D）
  = (A∩B)∪(A∩D)      （分配律）
  = A∪(A∩D)           （A<B）
  = D                   （吸收律）
同理可以证明B=C。

由A=D和C<D可得A>C。
但由B=C和A<B又有A<C。
矛盾。
同理可以证明B=C。

--  作者：apolor
--  发布时间：9/24/2006 1:26:00 PM

--  
以下是引用Logician在2006-9-23 19:42:00的发言：
你的命题是不是写错了？
你是不是想说“A∪C=B∪D与A∩C=B∩D不能同时成立”？


对，是我敲错了，我的本来的意思是“A∪C=B∪D与A∩C=B∩D不能同时成立”。谢谢你的更正。
--  作者：apolor
--  发布时间：9/24/2006 2:21:00 PM

--  
以下是引用Logician在2006-9-23 21:38:00的发言：
（下面用“<”表示“真包含于”，用“≤”表示“包含于”）
当“A<B且C<D”时，显然有“A∪C ≤ B∪D”和“A∩C ≤ B∩D”。
习题1.22(2)要求举反例说明，当“A<B且C<D”时，未必有“A∪C < B∪D”和“A∩C < B∩D”。
我想apolor的意思是：当“A<B且C<D”时，虽然上述两式未必都成立，但至少应该有一个成立。

我的证明如下：已知A<B和C<D。反设“A∪C < B∪D”和“A∩C < B∩D”都不成立。即有“A∪C = B∪D”和“A∩C = B∩D”。则：
A = A∩(A∪C)           （吸收律）
   = A∩(B∪D)           （A∪C=B∪D）
   = (A∩B)∪(A∩D)      （分配律）
   = A∪(A∩D)           （A<B）
   = D                   （吸收律）
同理可以证明B=C。

由A=D和C<D可得A>C。
但由B=C和A<B又有A<C。
矛盾。
同理可以证明B=C。



首先向大家道个歉，这两天不能上网，没有及时更正输入错误。我的原意如下：
请证明或推翻下面命题：
      已知A真包含于B且C真包含于D，则A∪C=B∪D与A∩C=B∩D不能同时成立

在Logician的证明中：
  A = A∩(A∪C)           （吸收律）
   = A∩(B∪D)           （A∪C=B∪D）
   = (A∩B)∪(A∩D)      （分配律）
   = A∪(A∩D)           （A<B）
   = D                   （吸收律）
最后一步有问题， 根据吸收律，A∪(A∩D)=A，而不是D（D是不确定的）。

--  作者：Logician
--  发布时间：9/24/2006 2:34:00 PM

--  
晕……
狂汗……
我重证……
@_@
--  作者：aison
--  发布时间：9/24/2006 3:58:00 PM

--  
A<B且C<D   A∪C = B∪D
可得B∩C!≤A 和D∩A!≤C在加上A∩C ≤ B∩D
可得A∩C = B∩D

参考一下。

--  作者：Logician
--  发布时间：9/24/2006 4:28:00 PM

--  
想到了。事实上，我们可以弱化条件。

定理  设A<B，C≤D，则必有“A∪C<B∪D ∨ A∩C<B∩D”。
证明  只需证，A∪C=B∪D → A∩C<B∩D即可。
假设A∪C=B∪D。由于A<B，所以存在x∈B，使得x不∈A。
注意到，B≤B∪D=A∪C，所以x∈A∪C。
由x∈A∪C和x不∈A可知，x∈C，从而x∈D。
这就是说，x∈B∩D。
但x不∈A，所以x不∈A∩C，从而有A∩C<B∩D。

--  作者：Logician
--  发布时间：9/24/2006 8:19:00 PM

--  
咦？最后这两个回帖为什么在平板模式下看不到？@_@
--  作者：apolor
--  发布时间：9/24/2006 9:23:00 PM

--  
以下是引用Logician在2006-9-24 16:28:00的发言：
只需证，A∪C=B∪D → A∩C<B∩D即可。
假设A∪C=B∪D。由于A<B，所以存在x∈B，使得x不∈A。
注意到，B≤B∪D=A∪C，所以x∈A∪C。
由x∈A∪C和x不∈A可知，x∈C，从而x∈D。
这就是说，x∈B∩D。
但x不∈A，所以x不∈A∩C，从而有A∩C<B∩D。

谢谢，这个证明非常简洁，而且抓住了最本质的东西。

--  作者：apolor
--  发布时间：9/24/2006 9:30:00 PM

--  
以下是引用aison在2006-9-24 15:58:00的发言：
A<B且C<D   A∪C = B∪D
可得B∩C!≤A 和D∩A!≤C在加上A∩C ≤ B∩D
可得A∩C = B∩D

参考一下。



“A<B且C<D，则：A∪C=B∪D与A∩C=B∩D不能同时成立”
是真命题，证明请参看上面Logician的回帖。
--  作者：adherent
--  发布时间：9/24/2006 10:24:00 PM

--  
以下是引用playboy199在2006-9-23 21:24:00的发言：
一、adherent－－2，datoubaicai——证明有问题吧：“A包含于AUC,则A包含于BnD”成立吗？如：A={1}，B={1，2}，C={3}，D={3，4}，满足“A真包含于B且C真包含于D”，但是A包含于AUC能=>A包含于BnD吗？
本身就是要证明不能同时成立，而datoubaicai是利用反证法证明的，而你所举得例子只能说明楼主要证的命题是正确的，而跟datoubaicai所证明的没有关系．
二、我认为如果是楼主所说的命题的话，datoubaicai所用的方法应该是对的，而题目本身并不难。也许楼主的意思并没有说清楚。。。一点愚见～～～～

噢呵，偶的错，没看仔细。。。。。给自己掌个耳光，鞠躬！：〉

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