然而，令我意外的是：
我竟然找不到一个“二阶”方阵的反例。
原以为反例就是一个|A|=0 的方阵。遗憾的是没有！！
于是我设一般的情况，用方程组来假定|E-AB|和|E-BA|不相等的情况（仅二阶）
然后分别求出A和B的方阵。令我惊奇的是，|E-AB|和|E-BA|竟然是相等的！！

至于3阶以上，由于运算复杂，我没有继续了。

我思考一晚上，难道是因为|E-AB|=|E-BA|在运算的时候不需要A可逆等等的条件？
而我在证明的时候，强行的加入A可逆的条件？？

欢迎大家讨论这么有趣的一题！^___^

继续找条件吧。：）
看看还有哪些情况能使得|E-AB|=|E-BA|。
“A可逆或B可逆”显然不是必要条件。呵呵。：）

以下是引用borlong在2006-9-29 9:20:00的发言： 这道题看似简单呀！ 乍一看，|E-AB|=|E-BA|成立的条件是|A|<>0，或者 |B|<>0. 因为这是A可逆，或者B可逆。 则E=AA'=A'A  (设A'为A的逆矩阵)     于是|E-AB|=|AA'-AB|=|A(A'-B)|=|A||A'-B|=|A'-B||A|=|A'A-BA|=|E-BA|. 然而，令我意外的是： 我竟然找不到一个“二阶”方阵的反例。 原以为反例就是一个|A|=0 的方阵。遗憾的是没有！！ 于是我设一般的情况，用方程组来假定|E-AB|和|E-BA|不相等的情况（仅二阶） 然后分别求出A和B的方阵。令我惊奇的是，|E-AB|和|E-BA|竟然是相等的！！ 至于3阶以上，由于运算复杂，我没有继续了。 我思考一晚上，难道是因为|E-AB|=|E-BA|在运算的时候不需要A可逆等等的条件？ 而我在证明的时候，强行的加入A可逆的条件？？ 欢迎大家讨论这么有趣的一题！^___^

=================
不会啊！
A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0)，
AB=(0 0\\2 0))
则 E--AB =(1 0\\ 1 0)--(0 0\\2 0)) =(1 0\\ -2 1)
而|E--AB|=|（1 0\\ -2 1)| =1

难道是我粗心了啊？？？？？

以下是引用borlong在2006-10-1 12:14:00的发言： [quote]以下是引用Logician在2006-10-1 9:19:00的发言： 呵呵。反例应该很好找啊。   比如令 A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0)，则|E-AB|=-1，|E-BA|=1。    看看还有哪些情况能使得|E-AB|=|E-BA|。   “A可逆或B可逆”显然不是必要条件。呵呵。：） [/quote] ================= 不会啊！ A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0)， AB=(0 0\\2 0)) 则 E--AB =(1 0\\ 1 0)--(0 0\\2 0)) =(1 0\\ -2 1) 而|E--AB|=|（1 0\\ -2 1)| =1 难道是我粗心了啊？？？？？

那么AB=(0*1+0*1   0*0+0*0  \\1*1+1*1  1*0+1*0 )(0 0\\2 0)

有趣！！有趣！！太有趣了！！！^___^

a[1][1] = 1
a[1][2] = 1
a[2][1] = 0
a[2][2] = 0

b[1][1] = 1
b[1][2] = 0
b[2][1] = 1
b[2][2] = 0

令C=AB，则c[1][1] = a[1][1]*b[1][1] + a[1][2]*b[2][1] = 1+1 = 2

AB = | 2 0 |  BA = | 1 1 |
     | 0 0 |       | 1 1 |

以下是引用borlong在2006-10-1 12:39:00的发言： A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0){即：a11=1,a12=0,a21=1,a22=0}，是这样排列的吧？？？ 那么AB=(0*1+0*1   0*0+0*0  \\1*1+1*1  1*0+1*0 )(0 0\\2 0) 有趣！！有趣！！太有趣了！！！^___^

以下是引用borlong在2006-10-1 12:39:00的发言： A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0){即：a11=1,a12=0,a21=1,a22=0}，是这样排列的吧？？？ 那么AB=(0*1+0*1   0*0+0*0  \\1*1+1*1  1*0+1*0 )(0 0\\2 0) 有趣！！有趣！！太有趣了！！！^___^

那么
E--AB=|1  0|--- |2 0| = |-1 0|     |E-AB|=-1
          |0  1|    |0 0|    |0  1|  

E-BA=|1  0|--- |1 1| = |0 -1|     |E-BA|=-1
          |0  1|    |1 1|    |-1  0|  

|E-AB|=|E-BA|!!!！！！！！！！！！！！！！！！！！

我要地说的是，反例在二阶里没有！！！！！！！
无论怎么写，都是相等的！！！！！！！！！

(2) 提出一些能确保上述等式成立的条件，并证明。

确保上述等式成立的条件！！！！！！！！！！

只是说充分条件吧！！！！！！！！！！！！！！

难道我的思路错了吗？  dear logician 您能指出我的证明错了吗？？？？？
本来看到以为很简单呢！！！（我的证明也的确简单！）

我想是这样的！！
运算的时候，根本不需要A或B可逆的条件！！
而证明“上述等式成立”过程中需要A或者B可逆的条件！！即：等式成立需要|A|<>0或者|B|<>0。
充分条件！！！！！！！而题目要求的也是这样吧？？？
没有要求必要吧！！！
不过我也在找必要条件！！！！
有趣极了！！！！！
有趣！！！！

即然从现在验证结果看，等式似乎恒成立，那么也许可以找到不需要任何前提条件的证明方法……

由这两个结论就可以知道|E-AB|和|E-BA|对应的特征值完全相同，从而有|E-AB|=|E-BA|。

此主题相关图片如下：

关于结论1，一般的线代书上只证明，如果f(x)是一个多项式，λ是A的一个特征值，那么f(λ)是f(A)的一个特征值。
这样的证明不能证明如果λ是A的k重特征值，则f(λ)是f(A)的k重特征值，所以还不能证明f(A)的全部特征值就是f(λ_1),f(λ_2),...,f(λ_n)。
不过上述结论是成立的。证明见下（同样摘自陈大新的《矩阵理论》）。里面先证了一个结论：任何方阵都相似于一个对角矩阵，这个结论在后面的证明要用。

此主题相关图片如下：


此主题相关图片如下：

dear logician，你的学识真实开阔啊！！！
了不起！！！
为了考个硕士研究生，我把所有阅读兴趣全部删除了，整天都在做题目！！
无奈！！

有机会也像 dear logician 学习。

博学一番！！！！！
看来我要 A Za Za Fighting!!!! ^___^