<N并K>={nK|n属于N，k属于K}；

再给出一个引理：N,K是群，则<N并K>=NK。

证明：由<N并K>的定义不难的证。

再说这道题，N是H正规子群这个条件是多余的。

再说答案中的证明：欲证明H属于NK，由<N并K>的定义即可，而答案中想说：

NK是G子群=〉H属于NK，这逻辑上是有问题的，因为H属于NK是永真式。

如：明天考研=〉H属于NK，也是正确的。

一般情况下，只能（由子群对乘法的封闭性）证明NK是<N∪K>的一个子集，但不能证明NK=<N∪K>。

反例很好找，只要注意到，由定义，<N∪K>一定是子群，但NK却不一定是子群。
设G为4元对称群S_4。N={(1), (1 2 3), (1 3 2)}，K={(1),(1 4)}。易见，N和K都是G的子群，而NK={(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 4) ,(1 4 2 3), (4 3 2 1)}，它显然不是子群，因为(4 3 2 1)(4 3 2 1) = (1 3)(2 4)不属于NK。所以NK≠<N∪K>。

NK不是子群原因是：对于n_1,n_2∈N和k_1,k_2∈K，虽然n_1*n_2*k_1*k_2必然在NK中，但是我们无法保证n_1*k_1*n_2*k_2也在NK中，所以可能出现NK对乘法不封闭的情况。

题目中“N是<N∪K>的正规子群”的条件则消除了上述可能，从而保证NK是子群。

确实，nk只是一种情况，还有kn，nkn，knk，。。。。。所以这个<N并K>不能精确定义的。
答案的证法很高明，避免了分情况所带来的无穷讨论。

对问题思考越深越发现肖大侠的高明之处，赞！