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以文本方式查看主题 - 中文XML论坛 - 专业的XML技术讨论区 (http://bbs.xml.org.cn/index.asp) -- 『 计算机考研交流 』 (http://bbs.xml.org.cn/list.asp?boardid=67) ---- [求助]97年的一道高数题 (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=67&rootid=&id=41055) |
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-- 作者：Smilingface -- 发布时间：12/10/2006 6:14:00 PM -- [求助]97年的一道高数题 有人知道97年一。2题求xn的极限是咋做的吗？今天再看以前做的题目的时候，发现这道题要想准确的说明极限是0还不是那麽容易。。。。 |
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-- 作者：ychj -- 发布时间：12/11/2006 6:42:00 AM -- 对于实数α的范围讨论即可: 必存在整数k, 使得 2kπ≤α<(2k+1)π 或 (2k+1)π≤α<(2k+2)π, (π为圆周率) (1) 若2kπ≤α<(2k+1)π, 易证数列单调递减, 下界为0; (2) 若(2k+1)π≤α<(2k+2)π, 易证数列单调递增, 上界为0. # |
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-- 作者：datoubaicai -- 发布时间：12/11/2006 9:58:00 AM -- 你这只是证明了极限存在，并不能说明极限值为0 求极限值要解方程A=sinA，最直观的是把y=x和y=sinx在[-1，1]的图像画出来，可以看出他们只有一个交点（0，0） 还没找到其他更好的方法 |
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-- 作者：ychj -- 发布时间：12/11/2006 4:23:00 PM -- 显然, 方程x=sinx只有唯一解. 考虑曲线y=x和y=sinx (1) 当x=π/2时, y=x=π/2>y=sinx=1; (2) 当0<x<π/2时, 有不等式 x>sinx 恒成立; (3) 当x>π/2时, 显然有x>sinx. 因此, x>0时, 方程x=sinx无解; x<0时, 利用对称性即得. 于是, x=0是唯一解. |
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-- 作者：Logician -- 发布时间：12/11/2006 5:06:00 PM -- 要证明x=sinx的唯一解是x=0可以这样： 令F(x)=x-sinx，则F(0)=0，F'(x)=1-cosx≥0。 对任意给定的正实数a>0，F'(x)在区间[-a,a]上只有有限个点等于0，从而F(x)在[-a,a]上是单调增的。这说明F(x)在(-∞,+∞)上是单调增的，从而只有唯一的零点F(0)=0。 |
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-- 作者：Smilingface -- 发布时间：12/11/2006 6:32:00 PM -- 说明方程A=sinA有唯一解，datoubaicai的图像法，ychj的分析法，Logician由导数符号判断单调性的方法都可以。问题是为什麽说"求极限值就是要解方程A=sinA", lim sin(xn)=sin lim(xn)? |
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-- 作者：Logician -- 发布时间：12/11/2006 7:59:00 PM -- 只要证明了极限存在，那么对恒等式 a_{n+1} = sin(a_n) 两边取极限，就得到 A = lim a_n = lim a_{n+1} = lim sin(a_n) = sin(lim a_n) = sin(A)。 |
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-- 作者：Smilingface -- 发布时间：12/12/2006 5:56:00 PM --
我的问题就是lim sin(a_n) = sin(lim a_n)这一步是怎么得到的呢？ 没有这个性质吧？ |
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-- 作者：Logician -- 发布时间：12/12/2006 7:09:00 PM -- 当然有啦。 “函数极限与数列极限的关系”定理：如果lim_{x→A}f(x)存在，{a_n}为函数f(x)的定义域内任一收敛于A的数列，且满足：a_n≠A(n∈N)，那么相应的函数值数列{f(a_n)}必收敛，且lim_{n→∞}f(a_n)=lim_{x→A}f(x)。 很容易知道，如果f(x_0)有定义，那么定理中“a_n≠A(n∈N)”的条件也可以去掉。
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-- 作者：Smilingface -- 发布时间：12/15/2006 8:11:00 PM -- 恩，明白了，极限这个地方学的不怎么好。:-)
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