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     * 贴子主题： 一道线性代数题，有人感兴趣吗？：） 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 一道线性代数题，有人感兴趣吗？：）

    证明或否定：设A、B为两个n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，则必有|E-AB|=|E-BA|。
    [此贴子已经被作者于2006-10-1 13:22:07编辑过]

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    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/9/25 3:54:00
     
     borlong 帅哥哟，离线，有人找我吗？魔羯座1986-12-30
      
      
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    发贴心情 
    这道题看似简单呀！
    乍一看，|E-AB|=|E-BA|成立的条件是|A|<>0，或者 |B|<>0.
    因为这是A可逆，或者B可逆。
    则E=AA'=A'A  (设A'为A的逆矩阵)    
    于是|E-AB|=|AA'-AB|=|A(A'-B)|=|A||A'-B|=|A'-B||A|=|A'A-BA|=|E-BA|.

    然而，令我意外的是：
    我竟然找不到一个“二阶”方阵的反例。
    原以为反例就是一个|A|=0 的方阵。遗憾的是没有！！
    于是我设一般的情况，用方程组来假定|E-AB|和|E-BA|不相等的情况（仅二阶）
    然后分别求出A和B的方阵。令我惊奇的是，|E-AB|和|E-BA|竟然是相等的！！

    至于3阶以上，由于运算复杂，我没有继续了。

    我思考一晚上，难道是因为|E-AB|=|E-BA|在运算的时候不需要A可逆等等的条件？
    而我在证明的时候，强行的加入A可逆的条件？？

    欢迎大家讨论这么有趣的一题！^___^

    ----------------------------------------------
    落花如雪胜雪香，秋风似水赛水凉。花下醉影不忍看，偏偏圆月又看窗！

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/9/29 9:20:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    呵呵。反例应该很好找啊。
    比如令 A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0)，则|E-AB|=-1，|E-BA|=1。

    继续找条件吧。：）
    看看还有哪些情况能使得|E-AB|=|E-BA|。
    “A可逆或B可逆”显然不是必要条件。呵呵。：）


    以下是引用borlong在2006-9-29 9:20:00的发言：
    这道题看似简单呀！
    乍一看，|E-AB|=|E-BA|成立的条件是|A|<>0，或者 |B|<>0.
    因为这是A可逆，或者B可逆。
    则E=AA'=A'A  (设A'为A的逆矩阵)    
    于是|E-AB|=|AA'-AB|=|A(A'-B)|=|A||A'-B|=|A'-B||A|=|A'A-BA|=|E-BA|.

    然而，令我意外的是：
    我竟然找不到一个“二阶”方阵的反例。
    原以为反例就是一个|A|=0 的方阵。遗憾的是没有！！
    于是我设一般的情况，用方程组来假定|E-AB|和|E-BA|不相等的情况（仅二阶）
    然后分别求出A和B的方阵。令我惊奇的是，|E-AB|和|E-BA|竟然是相等的！！

    至于3阶以上，由于运算复杂，我没有继续了。

    我思考一晚上，难道是因为|E-AB|=|E-BA|在运算的时候不需要A可逆等等的条件？
    而我在证明的时候，强行的加入A可逆的条件？？

    欢迎大家讨论这么有趣的一题！^___^


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/1 9:19:00
     
     borlong 帅哥哟，离线，有人找我吗？魔羯座1986-12-30
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用Logician在2006-10-1 9:19:00的发言：
    呵呵。反例应该很好找啊。
    比如令 A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0)，则|E-AB|=-1，|E-BA|=1。

      看看还有哪些情况能使得|E-AB|=|E-BA|。

    “A可逆或B可逆”显然不是必要条件。呵呵。：）


    =================
    不会啊！
    A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0)，
    AB=(0 0\\2 0))
    则 E--AB =(1 0\\ 1 0)--(0 0\\2 0)) =(1 0\\ -2 1)
    而|E--AB|=|（1 0\\ -2 1)| =1

    难道是我粗心了啊？？？？？

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    发贴心情 
    为什么我算出来AB=(2 0\\0 0)？

    以下是引用borlong在2006-10-1 12:14:00的发言：
    [quote]以下是引用Logician在2006-10-1 9:19:00的发言：
    呵呵。反例应该很好找啊。
      比如令 A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0)，则|E-AB|=-1，|E-BA|=1。

       看看还有哪些情况能使得|E-AB|=|E-BA|。

      “A可逆或B可逆”显然不是必要条件。呵呵。：）

    [/quote]

    =================
    不会啊！
    A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0)，
    AB=(0 0\\2 0))
    则 E--AB =(1 0\\ 1 0)--(0 0\\2 0)) =(1 0\\ -2 1)
    而|E--AB|=|（1 0\\ -2 1)| =1

    难道是我粗心了啊？？？？？


    ----------------------------------------------
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     borlong 帅哥哟，离线，有人找我吗？魔羯座1986-12-30
      
      
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    发贴心情 
    A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0){即：a11=1,a12=0,a21=1,a22=0}，是这样排列的吧？？？

    那么AB=(0*1+0*1   0*0+0*0  \\1*1+1*1  1*0+1*0 )(0 0\\2 0)

    有趣！！有趣！！太有趣了！！！^___^

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/1 12:39:00
     
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    发贴心情 
    A = | 1 1 |  B = | 1 0 |
        | 0 0 |      | 1 0 |

    a[1][1] = 1
    a[1][2] = 1
    a[2][1] = 0
    a[2][2] = 0

    b[1][1] = 1
    b[1][2] = 0
    b[2][1] = 1
    b[2][2] = 0

    令C=AB，则c[1][1] = a[1][1]*b[1][1] + a[1][2]*b[2][1] = 1+1 = 2

    AB = | 2 0 |  BA = | 1 1 |
         | 0 0 |       | 1 1 |

    以下是引用borlong在2006-10-1 12:39:00的发言：
    A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0){即：a11=1,a12=0,a21=1,a22=0}，是这样排列的吧？？？

    那么AB=(0*1+0*1   0*0+0*0  \\1*1+1*1  1*0+1*0 )(0 0\\2 0)

    有趣！！有趣！！太有趣了！！！^___^


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/1 12:51:00
     
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    发贴心情 
    我写的"\\"是指“换行符”。我是按行写的。
    你似乎理解成按列写的。
    如果按你的理解的话，|E-BA|就等于-1了。
    也是一样的。

    以下是引用borlong在2006-10-1 12:39:00的发言：
    A=(0 0\\ 1 1)，B=(1 0\\1 0){即：a11=1,a12=0,a21=1,a22=0}，是这样排列的吧？？？

    那么AB=(0*1+0*1   0*0+0*0  \\1*1+1*1  1*0+1*0 )(0 0\\2 0)

    有趣！！有趣！！太有趣了！！！^___^


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/1 12:54:00
     
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    发贴心情 
    以下是引用Logician在2006-10-1 12:51:00的发言：
    A = | 1 1 |  B = | 1 0 |
         | 0 0 |      | 1 0 |

    a[1][1] = 1
    a[1][2] = 1
    a[2][1] = 0
    a[2][2] = 0

    b[1][1] = 1
    b[1][2] = 0
    b[2][1] = 1
    b[2][2] = 0

    令C=AB，则c[1][1] = a[1][1]*b[1][1] + a[1][2]*b[2][1] = 1+1 = 2

    AB = | 2 0 |  BA = | 1 1 |
          | 0 0 |       | 1 1 |
      


    那么
    E--AB=|1  0|--- |2 0| = |-1 0|     |E-AB|=-1
              |0  1|    |0 0|    |0  1|  

    E-BA=|1  0|--- |1 1| = |0 -1|     |E-BA|=-1
              |0  1|    |1 1|    |-1  0|  

    |E-AB|=|E-BA|!!!！！！！！！！！！！！！！！！！！

    我要地说的是，反例在二阶里没有！！！！！！！
    无论怎么写，都是相等的！！！！！！！！！

    ----------------------------------------------
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    发贴心情 
    晕。还真是我算错了……
    狂晕……
    那看来确实应该想想怎么证明这两者恒等了……

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