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     * 贴子主题： 关于群课后44题的陷阱和答案中的逻辑问题 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     Supremgoooo 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大四下学期(考上研究生啦!)
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    发贴心情 关于群课后44题的陷阱和答案中的逻辑问题

    首先我给出<N并K>的定义：

    <N并K>={nK|n属于N，k属于K}；

    再给出一个引理：N,K是群，则<N并K>=NK。

    证明：由<N并K>的定义不难的证。

    再说这道题，N是H正规子群这个条件是多余的。

    再说答案中的证明：欲证明H属于NK，由<N并K>的定义即可，而答案中想说：

    NK是G子群=〉H属于NK，这逻辑上是有问题的，因为H属于NK是永真式。

    如：明天考研=〉H属于NK，也是正确的。


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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/28 21:45:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    <N∪K>的定义是“包含N∪K的最小子群”，而不是{nk|n∈N，k∈K}。这两者的差别应该是比较大的。

    一般情况下，只能（由子群对乘法的封闭性）证明NK是<N∪K>的一个子集，但不能证明NK=<N∪K>。

    反例很好找，只要注意到，由定义，<N∪K>一定是子群，但NK却不一定是子群。
    设G为4元对称群S_4。N={(1), (1 2 3), (1 3 2)}，K={(1),(1 4)}。易见，N和K都是G的子群，而NK={(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 4) ,(1 4 2 3), (4 3 2 1)}，它显然不是子群，因为(4 3 2 1)(4 3 2 1) = (1 3)(2 4)不属于NK。所以NK≠<N∪K>。

    NK不是子群原因是：对于n_1,n_2∈N和k_1,k_2∈K，虽然n_1*n_2*k_1*k_2必然在NK中，但是我们无法保证n_1*k_1*n_2*k_2也在NK中，所以可能出现NK对乘法不封闭的情况。

    题目中“N是<N∪K>的正规子群”的条件则消除了上述可能，从而保证NK是子群。

    [此贴子已经被作者于2006-10-29 0:10:59编辑过]

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    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/28 22:04:00
     
     wildzeven 帅哥哟，离线，有人找我吗？水瓶座1985-1-28
      
      
      等级：大一(猛啃高等数学)
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    发贴心情 
    Abel老大正解。。
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/28 23:40:00
     
     Supremgoooo 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大四下学期(考上研究生啦!)
      文章：201
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    发贴心情 
    呵呵，昨夜一时激动。。。

    确实，nk只是一种情况，还有kn，nkn，knk，。。。。。所以这个<N并K>不能精确定义的。
    答案的证法很高明，避免了分情况所带来的无穷讨论。

    对问题思考越深越发现肖大侠的高明之处，赞！

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/29 22:51:00
     
     computerlover 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大二期末(C++考了100分!)
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    发贴心情 
    是啊,我以前看不懂了,就认为是书上错了,或是肖大侠解法错了,但过后再看发现是没看懂,
    肖大侠的答案很严密,感到比书的严密. 不过考试时应该不会出要求先证个引理现证原题吧,而且也不能说用习题XX的结论的题吧.

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    很爱计算机，但无人交流。苦恼…… 很爱写代码，但盗版软件不好用，代码正确但编译或连接通不过。恼火……

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/10/30 14:28:00
     
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