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     * 贴子主题： [求助]97年的一道高数题 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     Smilingface 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 [求助]97年的一道高数题

    有人知道97年一。2题求xn的极限是咋做的吗？今天再看以前做的题目的时候，发现这道题要想准确的说明极限是0还不是那麽容易。。。。

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/10 18:14:00
     
     ychj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    对于实数α的范围讨论即可:  
    必存在整数k, 使得 2kπ≤α<(2k+1)π 或 (2k+1)π≤α<(2k+2)π,   (π为圆周率)
    (1) 若2kπ≤α<(2k+1)π, 易证数列单调递减, 下界为0;
    (2) 若(2k+1)π≤α<(2k+2)π, 易证数列单调递增, 上界为0.      #
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/11 6:42:00
     
     datoubaicai 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
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    发贴心情 
    你这只是证明了极限存在，并不能说明极限值为0
    求极限值要解方程A=sinA，最直观的是把y=x和y=sinx在[-1，1]的图像画出来，可以看出他们只有一个交点（0，0）
    还没找到其他更好的方法
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/11 9:58:00
     
     ychj 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    显然, 方程x=sinx只有唯一解.
    考虑曲线y=x和y=sinx
    (1) 当x=π/2时, y=x=π/2>y=sinx=1;
    (2) 当0<x<π/2时, 有不等式 x>sinx 恒成立;
    (3) 当x>π/2时, 显然有x>sinx.
    因此, x>0时, 方程x=sinx无解; x<0时, 利用对称性即得.
    于是, x=0是唯一解.
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/11 16:23:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    要证明x=sinx的唯一解是x=0可以这样：
    令F(x)=x-sinx，则F(0)=0，F'(x)=1-cosx≥0。
    对任意给定的正实数a>0，F'(x)在区间[-a,a]上只有有限个点等于0，从而F(x)在[-a,a]上是单调增的。这说明F(x)在(-∞,+∞)上是单调增的，从而只有唯一的零点F(0)=0。

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/11 17:06:00
     
     Smilingface 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    说明方程A=sinA有唯一解，datoubaicai的图像法，ychj的分析法，Logician由导数符号判断单调性的方法都可以。问题是为什麽说"求极限值就是要解方程A=sinA", lim sin(xn)=sin lim(xn)?
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/11 18:32:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    只要证明了极限存在，那么对恒等式 a_{n+1} = sin(a_n) 两边取极限，就得到 A = lim a_n = lim a_{n+1} = lim sin(a_n) = sin(lim a_n) = sin(A)。

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                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/11 19:59:00
     
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    发贴心情 
    以下是引用Logician在2006-12-11 19:59:00的发言：
    只要证明了极限存在，那么对恒等式 a_{n+1} = sin(a_n) 两边取极限，就得到 A = lim a_n = lim a_{n+1} = lim sin(a_n) = sin(lim a_n) = sin(A)。

    我的问题就是lim sin(a_n) = sin(lim a_n)这一步是怎么得到的呢？ 没有这个性质吧？

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/12 17:56:00
     
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    发贴心情 
    当然有啦。

    “函数极限与数列极限的关系”定理：如果lim_{x→A}f(x)存在，{a_n}为函数f(x)的定义域内任一收敛于A的数列，且满足：a_n≠A(n∈N)，那么相应的函数值数列{f(a_n)}必收敛，且lim_{n→∞}f(a_n)=lim_{x→A}f(x)。

    很容易知道，如果f(x_0)有定义，那么定理中“a_n≠A(n∈N)”的条件也可以去掉。

    以下是引用Smilingface在2006-12-12 17:56:00的发言：
    我的问题就是lim sin(a_n) = sin(lim a_n)这一步是怎么得到的呢？ 没有这个性质吧？

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/12 19:09:00
     
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    发贴心情 
    恩，明白了，极限这个地方学的不怎么好。:-)
    以下是引用Logician在2006-12-12 19:09:00的发言：
    当然有啦。

    “函数极限与数列极限的关系”定理：如果lim_{x→A}f(x)存在，{a_n}为函数f(x)的定义域内任一收敛于A的数列，且满足：a_n≠A(n∈N)，那么相应的函数值数列{f(a_n)}必收敛，且lim_{n→∞}f(a_n)=lim_{x→A}f(x)。

    很容易知道，如果f(x_0)有定义，那么定理中“a_n≠A(n∈N)”的条件也可以去掉。



    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/12/15 20:11:00
     
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